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  同步课程 - 数学 - 高一数学 - 浏览课程 - 线性相关性典例剖析  
线性相关性典例剖析
http://www.ksbs.cn  2007/11/4 17:06:16  浏览人次:3293
线性相关性典例剖析

一、确定性关系和相关关系
  例1 下列关系中带有随机性相关关系的有_____.
  ①光照时间与果树的亩产量的关系;
  ②圆柱体积与其底面直径的关系;
  ③自由落体的物体的质量与落地时间的关系;
  ④球的表面积与球半径之间的关系.
  解析:①②
  ①光照时间与果树的亩产量之间的关系是相关关系;②圆柱体积与两个变量相关,一是底面面积,一是高,这里直径决定了底面面积,而高还是一个可变量,因此在高没有确定的情况下,圆柱体积与底面直径只具有相关关系,不是函数关系;③自由落体的物体的质量与落地时间无关,它们不具有相关关系;④球的表面积与球的半径满足S=4πR2,故它们具有函数关系.
  例2 下表是某地的年降雨量与年平均气温,判断两者是相关关系吗?求回归直线方程有意义吗?
年平均气温(℃)        12.51        12.84        12.84        13.69        13.33        12.74        13.05
年降雨量(mn)        748        542        507        813        574        701        432

  解析:以x轴为年平均气温,y轴为年降雨量,可得相应的散点图如右图所示. 











  因为图中各点并不在一条直线的附近,所以两者不具有相关关系,没必要用回归直线进行拟合,如果用公式求得回归直线也是没有意义的.
二、回归直线方程
  求线性回归直线方程的步骤为:
  第一步:列表 ;
  第二步:计算 ;
  第三步:代入公式计算 的值;
  第四步:写出直线方程.
  例3 为分析初中升学的数学成绩对高一学生学习情况的影响,在高一年级学生中随机抽取了10名学生,他们的入学成绩与期末考试成绩如下表:

学生编号        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10
入学成绩
63        67        45        88        81        71        52        99        58        76
期末成绩
65        78        52        82        92        89        73        98        56        75

(1)        若变量 与 之间具有线性相关关系,求出回归直线的方程;
(2)        若某学生的入学成绩为80分,试估计他的期末成绩.
解析: (1) .



故所求线性回归直线方程是 .
(2)某学生入学成绩为80分,代入上式可求得 ,即这个学生期末成绩的预测分
值约为84分.
  例4 (2003年临汾)为了考查两个变量x和y之间的线性关系,甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验,并且利用线性回归的方法,求得回归直线 分别为l1、l2,已知两人得到的试验数据中,变量x和y的数据的平均值都相等,且分别是s,t,那么下列说法正确的是(  )
  A.直线 和 一定有公共点
  B.直线 和 相交,但交点不一定是
  C.必有直线
  D. 和 必定重合
  解析:本题选A.
  必性回归方程为 ,而 ,即 , .
   在回归直线上.
   直线 和 一定有公共点 .
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